Номер 10, страница 57 - гдз по физике 7 класс тесты Шабусов, Батурчик

10. В левое колено сообщающихся сосудов, заполненных глицерином $(\rho_0 = 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$, налили столб спирта $(\rho_1 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$ высотой $h_1 = 30 \text{ см}$, а в правое — столб бензина $(\rho_2 = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$ высотой $h_2 = 20 \text{ см}$. Определите разность высот $\Delta h$ жидкостей в сосудах.

Ответ: _______ мм.

Дано:

Плотность глицерина: $\rho_0 = 1200 \, \frac{кг}{м^3}$
Плотность спирта: $\rho_1 = 800 \, \frac{кг}{м^3}$
Высота столба спирта: $h_1 = 30 \, см = 0,3 \, м$
Плотность бензина: $\rho_2 = 750 \, \frac{кг}{м^3}$
Высота столба бензина: $h_2 = 20 \, см = 0,2 \, м$

Найти:

$\Delta h$

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. Выберем в качестве уровня сравнения нижнюю границу раздела жидкостей. Давление, создаваемое столбом спирта, равно $p_1 = \rho_1 g h_1$, а давление, создаваемое столбом бензина, равно $p_2 = \rho_2 g h_2$. Сравним эти давления:

$p_1 = 800 \cdot g \cdot 0,3 = 240g$

$p_2 = 750 \cdot g \cdot 0,2 = 150g$

Поскольку $p_1 > p_2$, столб спирта в левом колене вытеснит глицерин, и уровень глицерина в левом колене окажется ниже, чем в правом. Уровень раздела спирта и глицерина будет самым низким уровнем раздела жидкостей. Примем этот уровень за нулевой.

Давление в левом колене на этом уровне создается столбом спирта высотой $h_1$. Давление в правом колене на том же уровне создается столбом бензина высотой $h_2$ и столбом глицерина, высота которого равна разности уровней глицерина в коленах. Обозначим эту разность уровней глицерина как $h_g$.

Запишем уравнение равенства давлений на выбранном горизонтальном уровне:

$p_{левое} = p_{правое}$

$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2 + \rho_0 g h_g$

Можно сократить на $\text{g}$:

$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 + \rho_0 h_g$

Выразим из этого уравнения высоту столба глицерина $h_g$:

$h_g = \frac{\rho_1 h_1 - \rho_2 h_2}{\rho_0}$

Подставим числовые значения в СИ:

$h_g = \frac{800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0,3 \, м - 750 \frac{кг}{м^3} \cdot 0,2 \, м}{1200 \frac{кг}{м^3}} = \frac{240 \, \frac{Н}{м^2} - 150 \, \frac{Н}{м^2}}{1200 \frac{кг}{м^3}} = \frac{90}{1200} \, м = 0,075 \, м$

Теперь определим разность высот $\Delta h$ свободных поверхностей жидкостей в обоих коленах. Высота свободной поверхности в левом колене (спирт) относительно нашего нулевого уровня равна $H_1 = h_1$. Высота свободной поверхности в правом колене (бензин) равна $H_2 = h_2 + h_g$.

Разность высот равна:

$\Delta h = |H_1 - H_2| = |h_1 - (h_2 + h_g)|$

Подставим значения:

$\Delta h = |0,3 \, м - (0,2 \, м + 0,075 \, м)| = |0,3 \, м - 0,275 \, м| = 0,025 \, м$

Переведем результат в миллиметры, как того требует условие задачи:

$0,025 \, м = 25 \, мм$

Ответ: 25 мм.