Номер 703, страница 128 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Координаты точечного источника света $S(x_S, y_S) = (15, 4)$.
Координаты его действительного изображения $S'(x_{S'}, y_{S'}) = (55, -12)$.
Ось Ox совпадает с главной оптической осью линзы.

Найти:

Координату оптического центра линзы $x_O$.

Решение:

Один из основных законов геометрической оптики гласит, что луч света, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется и не меняет своего направления. Это означает, что точечный источник света $\text{S}$, оптический центр линзы $\text{O}$ и изображение источника $S'$ лежат на одной прямой.

Оптический центр линзы находится на главной оптической оси, которая, по условию задачи, совпадает с осью Ox. Следовательно, y-координата оптического центра равна нулю, и его полные координаты $O(x_O, 0)$.

Поскольку точки $S(15, 4)$, $O(x_O, 0)$ и $S'(55, -12)$ лежат на одной прямой, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных лучом $S S'$ и главной оптической осью.

Первый треугольник образован точками $\text{S}$, $\text{O}$ и проекцией точки $\text{S}$ на ось Ox. Катеты этого треугольника равны высоте источника над осью $h = y_S = 4$ и расстоянию от источника до плоскости линзы по горизонтали $|x_S - x_O| = |15 - x_O|$.

Второй треугольник образован точками $S'$, $\text{O}$ и проекцией точки $S'$ на ось Ox. Его катеты равны модулю высоты изображения $|h'| = |y_{S'}| = |-12| = 12$ и расстоянию от изображения до плоскости линзы по горизонтали $|x_{S'} - x_O| = |55 - x_O|$.

Эти два треугольника подобны, так как у них есть по прямому углу и пара равных вертикальных углов при вершине $\text{O}$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их катетов:

$\frac{h}{|x_S - x_O|} = \frac{|h'|}{|x_{S'} - x_O|}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{|15 - x_O|} = \frac{12}{|55 - x_O|}$

Так как изображение действительное, оно формируется с другой стороны линзы относительно предмета. Это значит, что оптический центр линзы $x_O$ находится между источником ($x_S=15$) и изображением ($x_{S'}=55$). Таким образом, $15 < x_O < 55$.

С учётом этого условия, мы можем раскрыть модули:

$|15 - x_O| = x_O - 15$

$|55 - x_O| = 55 - x_O$

Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{4}{x_O - 15} = \frac{12}{55 - x_O}$

Решим это уравнение относительно $x_O$. Умножим обе части на $(x_O - 15)(55 - x_O)$:

$4(55 - x_O) = 12(x_O - 15)$

Разделим обе части на 4:

$55 - x_O = 3(x_O - 15)$

$55 - x_O = 3x_O - 45$

Перенесём члены с $x_O$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$55 + 45 = 3x_O + x_O$

$100 = 4x_O$

$x_O = \frac{100}{4} = 25$

Полученное значение $x_O = 25$ удовлетворяет условию $15 < 25 < 55$.

Ответ: координата оптического центра линзы равна 25.