Номер 706, страница 129 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$d = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}$

$v = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$f = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}$

Найти:

$v_{отн}$ - скорость движения предмета относительно его изображения.

Решение:

Предмет движется параллельно плоскости линзы и перпендикулярно главной оптической оси. Пусть $\text{h}$ — это смещение предмета от главной оптической оси, а $\text{H}$ — смещение его изображения. Скорость предмета $\text{v}$ — это скорость изменения его смещения $\text{h}$. Аналогично, скорость изображения $v_{из}$ — это скорость изменения смещения $\text{H}$.

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ связывает размеры предмета и изображения, а также расстояния до них:

$|\Gamma| = \frac{|H|}{|h|} = \frac{f}{d}$

Из этой формулы можно выразить величину смещения изображения:

$|H| = \frac{f}{d} \cdot |h|$

Продифференцировав это соотношение по времени, найдем связь между модулями скоростей предмета $v = \frac{d|h|}{dt}$ и изображения $v_{из} = \frac{d|H|}{dt}$:

$v_{из} = \frac{d}{dt} \left( \frac{f}{d} \cdot |h| \right) = \frac{f}{d} \cdot \frac{d|h|}{dt} = \frac{f}{d} \cdot v$

Для собирающей линзы действительное изображение всегда является перевернутым. Это означает, что если предмет движется в одну сторону (например, вверх), то его изображение движется в противоположную (вниз). Следовательно, векторы скоростей предмета и изображения направлены в противоположные стороны.

Относительная скорость двух тел, движущихся в противоположных направлениях, равна сумме модулей их скоростей:

$v_{отн} = v + v_{из}$

Подставим найденное выражение для скорости изображения $v_{из}$:

$v_{отн} = v + \frac{f}{d} \cdot v = v \left( 1 + \frac{f}{d} \right)$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из условия задачи:

$v_{отн} = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \left( 1 + \frac{45 \text{ см}}{15 \text{ см}} \right) = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot (1 + 3) = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 4 = 12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость движения предмета относительно его действительного изображения на экране равна $12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.