Номер 6, страница 126 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно, $AB = 6$ см. Найдите длину стороны $BC$.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $∠BAC = 45°$, $∠DAC = 30°$, $AB = 6$ см.
Найти: $BC$.

Решение:
1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы, образованные секущей, равны: $∠BCA = ∠DAC$.
По условию $∠DAC = 30°$, значит, $∠BCA = 30°$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Нам известны сторона $AB = 6$ см и два угла этого треугольника: $∠BAC = 45°$ и $∠BCA = 30°$.

3. Для нахождения длины стороны $BC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника $ABC$ это можно записать так:
$\frac{AB}{\sin(∠BCA)} = \frac{BC}{\sin(∠BAC)}$

4. Подставим в это соотношение известные нам значения:
$\frac{6}{\sin(30°)} = \frac{BC}{\sin(45°)}$

5. Выразим из этого уравнения искомую сторону $BC$:
$BC = 6 \cdot \frac{\sin(45°)}{\sin(30°)}$

6. Используем известные значения синусов: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в формулу для $BC$:
$BC = 6 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2) = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.