Номер 9, страница 125 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, площади которых равны $6 \text{ см}^2$ и $54 \text{ см}^2$. Найдите гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Проведем высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Эта высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

По условию, площади этих двух треугольников равны $S_1 = 6 \text{ см}^2$ и $S_2 = 54 \text{ см}^2$. Пусть $S_{\triangle AHC} = 6 \text{ см}^2$ и $S_{\triangle BHC} = 54 \text{ см}^2$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей двух меньших треугольников: $S_{ABC} = S_{\triangle AHC} + S_{\triangle BHC} = 6 + 54 = 60 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле через основание (гипотенузу $AB$) и высоту ($CH$): $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Отсюда получаем: $60 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \implies AB \cdot CH = 120$.

Теперь рассмотрим площади меньших треугольников. Их основаниями являются отрезки $AH$ и $BH$ (проекции катетов на гипотенузу), а высота у них общая — $CH$. $S_{\triangle AHC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH = 6 \implies AH \cdot CH = 12$. $S_{\triangle BHC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH = 54 \implies BH \cdot CH = 108$.

Из этих двух уравнений выразим длины отрезков $AH$ и $BH$ через высоту $CH$: $AH = \frac{12}{CH}$ $BH = \frac{108}{CH}$

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу (это одно из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике). $CH^2 = AH \cdot BH$.

Подставим в эту формулу выражения для $AH$ и $BH$, полученные ранее: $CH^2 = \left(\frac{12}{CH}\right) \cdot \left(\frac{108}{CH}\right)$ $CH^2 = \frac{12 \cdot 108}{CH^2}$ $CH^4 = 1296$.

Найдем длину высоты $CH$, извлекая корень четвертой степени: $CH = \sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{36^2} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Теперь, зная высоту $CH$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ из соотношения $AB \cdot CH = 120$: $AB = \frac{120}{CH} = \frac{120}{6} = 20 \text{ см}$.

Проверка:

Можно также найти $AH$ и $BH$ по отдельности и сложить их. $AH = \frac{12}{CH} = \frac{12}{6} = 2 \text{ см}$. $BH = \frac{108}{CH} = \frac{108}{6} = 18 \text{ см}$. $AB = AH + BH = 2 + 18 = 20 \text{ см}$.

Результаты совпадают.

Ответ: 20 см.