Номер 7, страница 125 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций, заданных формулами

$y = 4x^2 + x$ и $y = 2 - 4x - 3x^2$.

Для того чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять выражения, задающие эти функции, так как в точках пересечения их значения $y$ равны.

Нам даны две функции: $y = 4x^2 + x$ и $y = 2 - 4x - 3x^2$.

Приравниваем правые части уравнений:
$4x^2 + x = 2 - 4x - 3x^2$

Теперь преобразуем полученное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:
$4x^2 + x - 2 + 4x + 3x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 + 3x^2) + (x + 4x) - 2 = 0$
$7x^2 + 5x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, обозначим их $x_1$ и $x_2$, и являются абсциссами точек пересечения. По условию задачи, нам нужно найти их среднее арифметическое, которое вычисляется по формуле $\frac{x_1 + x_2}{2}$.

Для нахождения суммы корней $x_1 + x_2$ удобно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $-\frac{b}{a}$.

В нашем уравнении $7x^2 + 5x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 7$, $b = 5$, $c = -2$.
Следовательно, сумма корней (абсцисс точек пересечения) равна:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{7}$

Теперь мы можем найти среднее арифметическое абсцисс:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5/7}{2} = -\frac{5}{7 \cdot 2} = -\frac{5}{14}$

Ответ: $-\frac{5}{14}$.