Номер 8, страница 125 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\%$ и $20\%$. Сколько тонн металла каждого сорта надо взять, чтобы получить 150 т стали с содержанием никеля $10\%$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса (в тоннах) лома стали первого сорта с 5% содержанием никеля, а $y$ — масса (в тоннах) лома стали второго сорта с 20% содержанием никеля.

По условию, общая масса полученной стали должна составить 150 тонн. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$x + y = 150$

Теперь рассчитаем массу чистого никеля. Масса никеля в ломе первого сорта составляет $0.05 \cdot x$ тонн. Масса никеля в ломе второго сорта составляет $0.20 \cdot y$ тонн.
В конечном сплаве массой 150 тонн содержание никеля должно быть 10%. Значит, общая масса никеля в этом сплаве будет:
$150 \cdot \frac{10}{100} = 150 \cdot 0.10 = 15$ тонн.

Сумма масс никеля из двух сортов лома должна быть равна массе никеля в итоговом сплаве. Это дает нам второе уравнение:
$0.05x + 0.20y = 15$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x + y = 150 \\ 0.05x + 0.20y = 15 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 150 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$0.05(150 - y) + 0.20y = 15$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$0.05 \cdot 150 - 0.05y + 0.20y = 15$
$7.5 + 0.15y = 15$
$0.15y = 15 - 7.5$
$0.15y = 7.5$
$y = \frac{7.5}{0.15} = \frac{750}{15} = 50$

Таким образом, для сплава нужно взять 50 тонн лома стали второго сорта (с 20% никеля).

Теперь найдем массу лома первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 150 - 50$
$x = 100$

Следовательно, нужно взять 100 тонн лома стали первого сорта (с 5% никеля).

Ответ: чтобы получить 150 т стали с содержанием никеля 10%, надо взять 100 т лома с содержанием никеля 5% и 50 т лома с содержанием никеля 20%.