Номер 10, страница 125 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Упростите выражение

$ \sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}} $ при

$ x > 18 $.

Для упрощения выражения $\sqrt{x+6\sqrt{x-9}} + \sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$ необходимо преобразовать выражения под внешними корнями в полные квадраты. Это распространенный прием для упрощения выражений с вложенными корнями.

Сделаем замену переменной, чтобы упростить подкоренные выражения. Пусть $y = \sqrt{x-9}$.

Так как по условию дано, что $x > 18$, то $x-9 > 18-9$, то есть $x-9 > 9$.

Из этого следует, что $y = \sqrt{x-9} > \sqrt{9}$, то есть $y > 3$.

Из нашей замены $y = \sqrt{x-9}$ следует, что $y^2 = x-9$, откуда можно выразить $x$: $x = y^2+9$.

Теперь подставим $x = y^2+9$ и $\sqrt{x-9} = y$ в выражение под первым корнем:

$x+6\sqrt{x-9} = (y^2+9) + 6y = y^2+6y+9$.

Полученное выражение $y^2+6y+9$ является полным квадратом суммы $(y+3)^2$.

Таким образом, первый член исходного выражения преобразуется в:

$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}} = \sqrt{(y+3)^2} = |y+3|$.

Поскольку мы выяснили, что $y > 3$, то $y+3$ всегда будет положительным числом. Следовательно, $|y+3| = y+3$.

Аналогично преобразуем выражение под вторым корнем:

$x-6\sqrt{x-9} = (y^2+9) - 6y = y^2-6y+9$.

Это выражение является полным квадратом разности $(y-3)^2$.

Тогда второй член исходного выражения преобразуется в:

$\sqrt{x-6\sqrt{x-9}} = \sqrt{(y-3)^2} = |y-3|$.

Так как $y > 3$, разность $y-3$ также всегда будет положительной. Следовательно, $|y-3| = y-3$.

Теперь мы можем сложить упрощенные части исходного выражения:

$|y+3| + |y-3| = (y+3) + (y-3) = y+3+y-3 = 2y$.

На последнем шаге выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его выражение через $x$:

$2y = 2\sqrt{x-9}$.

Ответ: $2\sqrt{x-9}$.