Номер 10, страница 123 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Упростите выражение $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ при $1 \leq x \leq 2$.

Для упрощения выражения $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ при $1 \le x \le 2$ преобразуем подкоренные выражения, выделив в них полные квадраты.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x+2\sqrt{x-1}$. Представим $x$ в виде $x-1+1$: $x+2\sqrt{x-1} = (x-1)+2\sqrt{x-1}+1$.

Заметим, что это выражение является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=\sqrt{x-1}$ и $b=1$: $(x-1)+2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}+1)^2$.

Следовательно, первое слагаемое в исходном выражении можно записать так: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{y^2}=|y|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} = |\sqrt{x-1}+1|$.

Поскольку по условию $x \ge 1$, то $\sqrt{x-1} \ge 0$, и, следовательно, выражение $\sqrt{x-1}+1$ всегда положительно. Поэтому модуль можно опустить: $|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$.

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $x-2\sqrt{x-1}$. Аналогично представим $x$ как $x-1+1$: $x-2\sqrt{x-1} = (x-1)-2\sqrt{x-1}+1$.

Это выражение является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=\sqrt{x-1}$ и $b=1$: $(x-1)-2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1}-1)^2$.

Следовательно, второе слагаемое в исходном выражении можно записать так: $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = |\sqrt{x-1}-1|$.

Для раскрытия модуля воспользуемся заданным ограничением $1 \le x \le 2$.

Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства: $1-1 \le x-1 \le 2-1$, что равносильно $0 \le x-1 \le 1$.

Извлечем квадратный корень: $\sqrt{0} \le \sqrt{x-1} \le \sqrt{1}$, откуда получаем $0 \le \sqrt{x-1} \le 1$.

Снова вычтем 1: $0-1 \le \sqrt{x-1}-1 \le 1-1$, что дает $-1 \le \sqrt{x-1}-1 \le 0$.

Так как выражение $\sqrt{x-1}-1$ на данном отрезке является неположительным (меньше или равно нулю), его модуль равен противоположному выражению: $|\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) = 1-\sqrt{x-1}$.

Наконец, подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение: $(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1}) = \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1} = 2$.

Ответ: 2