Номер 9, страница 123 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, площади которых равны $ 4 \text{ см}^2 $ и $ 16 \text{ см}^2 $. Найдите гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два меньших треугольника. Обозначим эту высоту как $h$, а гипотенузу как $c$.

Высота делит гипотенузу на два отрезка, которые мы обозначим как $x$ и $y$. Таким образом, гипотенуза $c = x + y$. Эти отрезки являются основаниями двух образовавшихся треугольников, а высота $h$ является их общей высотой.

Площади этих двух треугольников ($S_1$ и $S_2$) можно выразить через $x$, $y$ и $h$:

$S_1 = \frac{1}{2} xh = 4$ см²

$S_2 = \frac{1}{2} yh = 16$ см²

Из этих уравнений выразим произведения $xh$ и $yh$:

$xh = 2 \cdot 4 = 8$

$yh = 2 \cdot 16 = 32$

Теперь выразим $x$ и $y$ через $h$:

$x = \frac{8}{h}$

$y = \frac{32}{h}$

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой: $h^2 = x \cdot y$.

Подставим в эту формулу выражения для $x$ и $y$, которые мы получили ранее:

$h^2 = \left(\frac{8}{h}\right) \cdot \left(\frac{32}{h}\right)$

$h^2 = \frac{256}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$:

$h^4 = 256$

Чтобы найти $h$, извлечем корень четвертой степени:

$h = \sqrt[4]{256} = 4$ см.

Теперь мы можем найти длины отрезков $x$ и $y$:

$x = \frac{8}{h} = \frac{8}{4} = 2$ см

$y = \frac{32}{h} = \frac{32}{4} = 8$ см

Гипотенуза $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = x + y = 2 + 8 = 10$ см.

Второй способ:

Площадь исходного большого треугольника $S$ равна сумме площадей двух меньших треугольников:

$S = S_1 + S_2 = 4 + 16 = 20$ см².

Площадь большого треугольника также можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} c \cdot h$, где $c$ - гипотенуза, а $h$ - высота, проведенная к ней.

Мы уже нашли, что $h=4$ см. Подставим известные значения в формулу площади:

$20 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 4$

$20 = 2c$

$c = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.