Номер 8, страница 127 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. В геометрической прогрессии произведение третьего и десятого членов равно 120. Чему равно произведение одиннадцатого и второго членов этой прогрессии?

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, произведение третьего и десятого членов равно 120. Выразим эти члены через $b_1$ и $q$:

третий член $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 q^2$;

десятый член $b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 q^9$.

Их произведение равно: $b_3 \cdot b_{10} = (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^9) = b_1^2 \cdot q^{2+9} = b_1^2 q^{11}$.

Таким образом, из условия мы имеем $b_1^2 q^{11} = 120$.

Теперь найдем произведение одиннадцатого и второго членов этой же прогрессии. Выразим их аналогично:

одиннадцатый член $b_{11} = b_1 \cdot q^{11-1} = b_1 q^{10}$;

второй член $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 q$.

Их произведение равно: $b_{11} \cdot b_2 = (b_1 q^{10}) \cdot (b_1 q) = b_1^2 \cdot q^{10+1} = b_1^2 q^{11}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что произведение одиннадцатого и второго членов равно тому же значению, что и произведение третьего и десятого членов: $b_{11} \cdot b_2 = b_1^2 q^{11}$ и $b_3 \cdot b_{10} = b_1^2 q^{11}$.

Следовательно, $b_{11} \cdot b_2 = b_3 \cdot b_{10}$.

Поскольку $b_3 \cdot b_{10} = 120$, то и искомое произведение $b_{11} \cdot b_2 = 120$.

Также можно воспользоваться свойством геометрической прогрессии: если для индексов членов $k, l, m, n$ выполняется равенство $k + l = m + n$, то произведения соответствующих членов также равны: $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_n$.

В нашем случае для первого произведения сумма индексов $3 + 10 = 13$. Для второго, искомого, произведения сумма индексов $11 + 2 = 13$.

Так как суммы индексов равны, то равны и произведения: $b_{11} \cdot b_2 = b_3 \cdot b_{10} = 120$.

Ответ: 120.