Номер 10, страница 127 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В угол A вписана окружность с радиусом 6 см и центром в точке $O_1$ (см. рис.). Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно 30 см. Найдите радиус меньшей окружности с центром в точке $O_2$, которая касается сторон данного угла и данной окружности с центром в точке $O_1$.

Пусть $R_1$ — радиус большей окружности, а $R_2$ — радиус искомой меньшей окружности. По условию, $R_1 = 6$ см. Расстояние от вершины угла A до центра большей окружности $AO_1 = 30$ см.

Поскольку обе окружности вписаны в угол A, их центры $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе этого угла. Проведем из центров $O_1$ и $O_2$ перпендикуляры $O_1K_1$ и $O_2K_2$ к одной из сторон угла. Мы получим два прямоугольных треугольника: $\triangle AK_1O_1$ и $\triangle AK_2O_2$.

Эти треугольники подобны по двум углам (общий острый угол при вершине A и прямые углы $\angle AK_1O_1$ и $\angle AK_2O_2$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AO_2}{AO_1} = \frac{O_2K_2}{O_1K_1}$

Подставим известные значения: $O_1K_1 = R_1 = 6$ см, $O_2K_2 = R_2$, $AO_1 = 30$ см. Получаем:

$\frac{AO_2}{30} = \frac{R_2}{6}$

Расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R_1 + R_2 = 6 + R_2$. Точки A, $O_2$ и $O_1$ лежат на одной прямой в указанном порядке, следовательно, расстояние $AO_2$ можно найти как разность:

$AO_2 = AO_1 - O_1O_2 = 30 - (6 + R_2) = 24 - R_2$

Теперь подставим это выражение для $AO_2$ в нашу пропорцию:

$\frac{24 - R_2}{30} = \frac{R_2}{6}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6 \cdot (24 - R_2) = 30 \cdot R_2$

$144 - 6R_2 = 30R_2$

$144 = 30R_2 + 6R_2$

$144 = 36R_2$

$R_2 = \frac{144}{36} = 4$

Таким образом, радиус меньшей окружности составляет 4 см.

Ответ: 4 см.