Номер 6, страница 128 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно, $AD = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.

По условию, $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$), и длина стороны $BC$ равна длине стороны $AD$, то есть $BC = AD = 8$ см.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами при этих параллельных прямых и секущей. Поэтому эти углы равны: $\angle BCA = \angle DAC = 45°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В нем известны сторона $BC = 8$ см, а также углы $\angle BAC = 30°$ (по условию) и $\angle BCA = 45°$ (как было найдено ранее). Нам нужно найти длину стороны $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$. Согласно теореме синусов, отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны. Запишем соотношение для сторон $AB$ и $BC$: $\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$.

Подставим известные значения в эту формулу: $\frac{AB}{\sin(45°)} = \frac{8}{\sin(30°)}$.

Выразим из этого уравнения сторону $AB$: $AB = \frac{8 \cdot \sin(45°)}{\sin(30°)}$.

Используя табличные значения синусов $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, произведем вычисление: $AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.