Номер 10, страница 129 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В угол $A$ вписана окружность с радиусом 8 см и центром в точке $O_1$ (см. рис.). Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно 40 см. Найдите радиус большей окружности с центром в точке $O_2$, которая касается сторон данного угла и данной окружности с центром в точке $O_1$.

Поскольку окружности вписаны в угол A, их центры $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе этого угла. Следовательно, вершина угла A и центры окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим первую окружность с центром $O_1$ и радиусом $r_1 = 8$ см. Проведем перпендикуляр из центра $O_1$ к одной из сторон угла. Этот перпендикуляр является радиусом $r_1$. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок $AO_1$, а катетом, противолежащим половине угла A, является радиус $r_1$. Пусть половина угла A равна $\alpha$. Тогда синус этого угла можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$ \sin(\alpha) = \frac{r_1}{AO_1} $$

Подставим известные значения: $$ \sin(\alpha) = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} $$

Теперь рассмотрим вторую, большую окружность с центром $O_2$ и неизвестным радиусом $r_2$. Аналогично, проведя перпендикуляр из центра $O_2$ к той же стороне угла, мы получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $AO_2$ и катетом $r_2$. Для этого треугольника также справедливо соотношение: $$ \sin(\alpha) = \frac{r_2}{AO_2} $$

Так как угол $\alpha$ один и тот же, мы можем приравнять правые части двух выражений: $$ \frac{r_1}{AO_1} = \frac{r_2}{AO_2} \implies \frac{1}{5} = \frac{r_2}{AO_2} $$

Расстояние $AO_2$ состоит из расстояния $AO_1$ и расстояния между центрами окружностей $O_1O_2$. Поскольку окружности касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Таким образом, $$ AO_2 = AO_1 + O_1O_2 = AO_1 + r_1 + r_2 $$

Подставим известные значения: $$ AO_2 = 40 + 8 + r_2 = 48 + r_2 $$

Теперь подставим это выражение для $AO_2$ в нашу пропорцию: $$ \frac{1}{5} = \frac{r_2}{48 + r_2} $$

Решим полученное уравнение: $$ 1 \cdot (48 + r_2) = 5 \cdot r_2 $$ $$ 48 + r_2 = 5r_2 $$ $$ 4r_2 = 48 $$ $$ r_2 = \frac{48}{4} = 12 \text{ см} $$

Ответ: 12 см.