Номер 8, страница 129 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. В геометрической прогрессии произведение четвертого и двенадцатого членов равно 200. Чему равно произведение второго и четырнадцатого членов этой прогрессии?

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, произведение четвертого ($b_4$) и двенадцатого ($b_{12}$) членов равно 200. Запишем это в виде уравнения:
$b_4 \cdot b_{12} = 200$.

Используя формулу n-го члена, выразим $b_4$ и $b_{12}$ через $b_1$ и $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_{12} = b_1 \cdot q^{12-1} = b_1 \cdot q^{11}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение из условия:
$(b_1 \cdot q^3) \cdot (b_1 \cdot q^{11}) = 200$
$b_1^2 \cdot q^{3+11} = 200$
$b_1^2 \cdot q^{14} = 200$.

Нам необходимо найти произведение второго ($b_2$) и четырнадцатого ($b_{14}$) членов. Выразим их аналогично:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q^1$
$b_{14} = b_1 \cdot q^{14-1} = b_1 \cdot q^{13}$

Вычислим их произведение:
$b_2 \cdot b_{14} = (b_1 \cdot q^1) \cdot (b_1 \cdot q^{13}) = b_1^2 \cdot q^{1+13} = b_1^2 \cdot q^{14}$.

Сравнивая результат с полученным ранее уравнением, видим, что искомое произведение равно 200, так как $b_2 \cdot b_{14} = b_1^2 \cdot q^{14}$ и $b_1^2 \cdot q^{14} = 200$.

Этот результат также следует из свойства геометрической прогрессии: если для индексов членов $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_n$. В нашем случае $4+12=16$ и $2+14=16$. Так как суммы индексов равны, то и произведения соответствующих членов равны: $b_2 \cdot b_{14} = b_4 \cdot b_{12} = 200$.

Ответ: 200.