Номер 5, страница 130 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$, а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$. Угол $ABO$ равен $40^\circ$, угол $ACO$ равен $30^\circ$. Найдите величину угла $BOC$.

Поскольку точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке O, отрезки OA, OB и OC являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OB = OC$. Это означает, что треугольники AOB, BOC и AOC являются равнобедренными.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как он равнобедренный с основанием AB ($OA = OB$), углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. По условию дано, что $\angle ABO = 40^{\circ}$, следовательно, $\angle OAB = 40^{\circ}$.

Аналогично рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный с основанием AC ($OA = OC$), поэтому $\angle OAC = \angle OCA$. По условию $\angle ACO = 30^{\circ}$, следовательно, $\angle OAC = 30^{\circ}$.

Теперь мы можем найти величину угла BAC треугольника ABC, который является суммой углов $\angle OAB$ и $\angle OAC$: $\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 40^{\circ} + 30^{\circ} = 70^{\circ}$.

Рассмотрим третий равнобедренный треугольник BOC (с основанием BC, так как $OB = OC$). Углы при его основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Обозначим величину этих углов как $x$.

Выразим остальные углы треугольника ABC через $x$: $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 40^{\circ} + x$. $\angle BCA = \angle BCO + \angle ACO = x + 30^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике ABC равна $180^{\circ}$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$.

Подставим известные и выраженные значения: $70^{\circ} + (40^{\circ} + x) + (x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$. $140^{\circ} + 2x = 180^{\circ}$. $2x = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. $x = 20^{\circ}$.

Мы нашли, что $\angle OBC = \angle OCB = 20^{\circ}$. Теперь найдем искомый угол BOC из треугольника BOC, зная, что сумма его углов равна $180^{\circ}$: $\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Ответ: $140^{\circ}$.