Номер 10, страница 131 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 4$. Найдите $AC$, если медиана $AM = 3$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 4$. К стороне $BC$ проведена медиана $AM$, длина которой равна $3$. Необходимо найти длину основания $AC$.

Так как $AM$ — медиана, то точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, длина отрезка $BM$ равна половине длины стороны $BC$. $BM = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны длины всех трех сторон: $AB = 4$, $AM = 3$ и $BM = 2$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABM$, чтобы найти косинус угла $\angle B$. Теорема косинусов для стороны $AM$ записывается следующим образом: $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим известные значения в это уравнение: $3^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(\angle B)$ $9 = 16 + 4 - 16 \cos(\angle B)$ $9 = 20 - 16 \cos(\angle B)$.

Из этого уравнения найдем значение косинуса угла $\angle B$: $16 \cos(\angle B) = 20 - 9$ $16 \cos(\angle B) = 11$ $\cos(\angle B) = \frac{11}{16}$.

Теперь, зная косинус угла $\angle B$, мы можем найти длину стороны $AC$ в треугольнике $ABC$, снова применив теорему косинусов. Для треугольника $ABC$ теорема косинусов для стороны $AC$ имеет вид: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим известные значения сторон $AB=4$, $BC=4$ и найденное значение $\cos(\angle B) = \frac{11}{16}$: $AC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{11}{16}$ $AC^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{11}{16}$ $AC^2 = 32 - 2 \cdot 11$ $AC^2 = 32 - 22$ $AC^2 = 10$.

Чтобы найти длину $AC$, извлечем квадратный корень из полученного значения: $AC = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.