Номер 5, страница 132 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$, а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$. Угол $ABO$ равен $20^\circ$, угол $ACO$ равен $40^\circ$. Найдите величину угла $BOC$.

Поскольку вершина угла $B$ и точки $A$ и $C$ лежат на окружности с центром в точке $O$, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, они равны между собой: $OA = OB = OC$.

Это означает, что треугольники $AOB$, $BOC$ и $AOC$ являются равнобедренными.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$ ($OA=OB$). Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAB = \angle OBA$. По условию $\angle ABO = 20^\circ$, значит, $\angle OAB = 20^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому центральный угол $\angle AOB$ равен: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AOC$ ($OA=OC$). Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAC = \angle OCA$. По условию $\angle ACO = 40^\circ$, значит, $\angle OAC = 40^\circ$. Центральный угол $\angle AOC$ равен: $\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Точка $O$ является центром окружности, и углы $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle AOC$ в сумме образуют полный угол, равный $360^\circ$. Это предполагает, что точка O находится внутри треугольника $ABC$, что является наиболее стандартной конфигурацией для такой задачи.

$\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^\circ$

Подставим в это равенство найденные значения углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$: $140^\circ + \angle BOC + 100^\circ = 360^\circ$

$240^\circ + \angle BOC = 360^\circ$

Отсюда выражаем искомую величину угла $\angle BOC$: $\angle BOC = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.