Номер 10, страница 133 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6$. Найдите $AC$, если медиана $AM = 4$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 6$. Проведена медиана $AM$ к стороне $BC$, и ее длина равна $AM = 4$. Необходимо найти длину основания $AC$.

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой длины медианы треугольника. Формула для медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$, выглядит следующим образом:
$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем случае медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Применим формулу для нашего треугольника, обозначив стороны:
$a = BC = 6$ (сторона, к которой проведена медиана)
$b = AC$ (искомая сторона)
$c = AB = 6$
$m_a = AM = 4$ (длина медианы)

Подставим известные значения в формулу:
$AM^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$
$4^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 6^2 - 6^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $AC$:
$16 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 36 - 36}{4}$
$16 = \frac{2 \cdot AC^2 + 36}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4:
$16 \cdot 4 = 2 \cdot AC^2 + 36$
$64 = 2 \cdot AC^2 + 36$
$2 \cdot AC^2 = 64 - 36$
$2 \cdot AC^2 = 28$
$AC^2 = \frac{28}{2}$
$AC^2 = 14$
$AC = \sqrt{14}$

Ответ: $\sqrt{14}$