Номер 5, страница 134 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Упростите выражение $\frac{m^3}{m+1} \cdot \frac{m^2+2m+1}{2m^4}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо сначала разложить на множители числители и знаменатели дробей, а затем выполнить умножение и сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{m^3}{m+1} \cdot \frac{m^2 + 2m + 1}{2m^4} $$

1. Рассмотрим числитель второй дроби: $m^2 + 2m + 1$. Это выражение является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=m$ и $b=1$.

$$ m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 $$

2. Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$$ \frac{m^3}{m+1} \cdot \frac{(m+1)^2}{2m^4} $$

3. Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$$ \frac{m^3 \cdot (m+1)^2}{(m+1) \cdot 2m^4} $$

4. Теперь сократим полученную дробь. Для этого сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$$ \frac{m^3}{2m^4} \cdot \frac{(m+1)^2}{m+1} $$

Сократим степени $m$ и $(m+1)$. По свойству степеней $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$.

$$ \frac{m^3}{m^4} = m^{3-4} = m^{-1} = \frac{1}{m} $$

$$ \frac{(m+1)^2}{m+1} = (m+1)^{2-1} = m+1 $$

Подставим сокращенные части обратно в выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{m} \cdot (m+1) = \frac{m+1}{2m} $$

Упрощение справедливо при условии, что знаменатели исходных дробей не равны нулю, то есть $m+1 \neq 0$ и $2m^4 \neq 0$, что означает $m \neq -1$ и $m \neq 0$.

Ответ: $ \frac{m+1}{2m} $.