Номер 9, страница 135 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Дана окружность, длина которой равна $12\pi$. Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью, если угол этого сектора равен $40^\circ$.

9. Для решения этой задачи сначала необходимо найти радиус круга, исходя из данной длины окружности. Длина окружности $C$ связана с радиусом $R$ по формуле $C = 2\pi R$.

По условию, длина окружности равна $12\pi$. Подставим это значение в формулу:

$12\pi = 2\pi R$

Чтобы найти радиус, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$R = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь сектора. Формула для площади сектора круга $S_{сектора}$ с центральным углом $\alpha$, выраженным в градусах, выглядит так:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha$

Подставим в формулу известные значения: радиус $R = 6$ и угол сектора $\alpha = 40^\circ$.

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 6^2}{360} \cdot 40$

$S_{сектора} = \frac{36\pi}{360} \cdot 40$

Сократим дробь $\frac{36}{360}$ до $\frac{1}{10}$:

$S_{сектора} = \frac{\pi}{10} \cdot 40$

$S_{сектора} = 4\pi$

Альтернативно, можно сначала найти площадь всего круга $S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$. Угол сектора $40^\circ$ составляет долю $\frac{40^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{9}$ от полного круга. Следовательно, площадь сектора равна этой доле от площади всего круга: $S_{сектора} = 36\pi \cdot \frac{1}{9} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$