Номер 6, страница 136 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Около окружности с радиусом 3 см описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна $24 \text{ см}^2$. Найдите длину боковой стороны этой трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — длины оснований равнобедренной трапеции, $c$ — длина ее боковой стороны, $h$ — высота, $S$ — площадь, а $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию задачи нам дано:
Радиус вписанной окружности $r = 3$ см.
Площадь трапеции $S = 24$ см².

Высота трапеции, около которой описана окружность, равна диаметру этой окружности.
$h = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Формула площади трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Подставим известные значения площади и высоты в формулу, чтобы найти сумму оснований:
$24 = \frac{a+b}{2} \cdot 6$
$24 = (a+b) \cdot 3$
$a+b = \frac{24}{3} = 8$ см.

Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это свойство выглядит так:
$a+b = c+c$
$a+b = 2c$

Мы уже нашли, что сумма оснований $a+b = 8$ см. Подставим это значение в полученное равенство:
$8 = 2c$
Отсюда находим длину боковой стороны $c$:
$c = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.