Номер 8, страница 137 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции $y = \frac{2x-1}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = \frac{1}{2}$.

Условие, что график функции $y = \frac{2x - 1}{x^2 + x - 12}$ расположен выше прямой $y = \frac{1}{2}$, означает, что значения функции должны быть больше $\frac{1}{2}$. Это можно записать в виде неравенства:

$\frac{2x - 1}{x^2 + x - 12} > \frac{1}{2}$

Для решения этого рационального неравенства перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - 1}{x^2 + x - 12} - \frac{1}{2} > 0$

$\frac{2(2x - 1) - 1(x^2 + x - 12)}{2(x^2 + x - 12)} > 0$

$\frac{4x - 2 - x^2 - x + 12}{2(x^2 + x - 12)} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x + 10}{2(x^2 + x - 12)} > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ в числителе стал положительным. Постоянный множитель 2 в знаменателе не влияет на знак дроби, поэтому его можно опустить.

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 12} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя:

Решим уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Нули знаменателя (точки разрыва):

Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни: $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$ и $x_4 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Отметим найденные точки $-4, -2, 3, 5$ на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{(x+2)(x-5)}{(x+4)(x-3)}$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. При переходе через каждую точку знак меняется. Таким образом, знаки на интервалах чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "минус"). Это интервалы $(-4; -2)$ и $(3; 5)$.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-4; -2) \cup (3; 5)$.

Теперь найдем все целые значения аргумента $x$, которые попадают в эти интервалы.

Из интервала $(-4; -2)$ целым числом является $-3$.

Из интервала $(3; 5)$ целым числом является $4$.

Искомая сумма этих целых значений: $-3 + 4 = 1$.

Ответ: 1