Номер 4, страница 136 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

4. Какая из следующих последовательностей:

а) 25; 35; 45; ...;

б) 0,2; 0,02; 0,002; ...;

в) $\frac{3}{4}; \frac{4}{9}; \frac{5}{16}; ...;$

г) 5; -5; -15; ...

является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. Для того чтобы последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots$ была геометрической прогрессией, должно выполняться условие: отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену должно быть постоянным, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для всех натуральных $n$.

Проверим каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

а) 25; 35; 45; ...

В данной последовательности $b_1 = 25$, $b_2 = 35$, $b_3 = 45$.

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1.4$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{45}{35} = \frac{9}{7}$.

Поскольку $\frac{7}{5} \neq \frac{9}{7}$, отношение между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

б) 0,2; 0,02; 0,002; ...

В данной последовательности $b_1 = 0.2$, $b_2 = 0.02$, $b_3 = 0.002$.

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{0.02}{0.2} = 0.1$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{0.002}{0.02} = 0.1$.

Отношение между соседними членами постоянно и равно $q = 0.1$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 0.1$.

Ответ: является геометрической прогрессией.

в) $\frac{3}{4}; \frac{4}{9}; \frac{5}{16}; ...$

В данной последовательности $b_1 = \frac{3}{4}$, $b_2 = \frac{4}{9}$, $b_3 = \frac{5}{16}$.

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{4/9}{3/4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{27}$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{5/16}{4/9} = \frac{5}{16} \cdot \frac{9}{4} = \frac{45}{64}$.

Поскольку $\frac{16}{27} \neq \frac{45}{64}$, отношение между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

г) 5; -5; -15; ...

В данной последовательности $b_1 = 5$, $b_2 = -5$, $b_3 = -15$.

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{5} = -1$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{-15}{-5} = 3$.

Поскольку $-1 \neq 3$, отношение между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Таким образом, из всех перечисленных последовательностей только последовательность б) 0,2; 0,02; 0,002; ... является геометрической прогрессией. Это обосновано тем, что для нее выполняется основное свойство геометрической прогрессии: каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии $q=0.1$).