Номер 8, страница 135 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму целых значений аргумента, для которых

график функции $y = \frac{2x - 10}{x^2 + x - 12}$ расположен выше прямой $y=1$.

Условие, что график функции $y = \frac{2x - 10}{x^2 + x - 12}$ расположен выше прямой $y = 1$, означает, что значения функции должны быть строго больше 1. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{2x - 10}{x^2 + x - 12} > 1$

Для решения неравенства перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{2x - 10}{x^2 + x - 12} - 1 > 0$

$\frac{2x - 10 - (x^2 + x - 12)}{x^2 + x - 12} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2x - 10 - x^2 - x + 12}{x^2 + x - 12} > 0$

$\frac{-x^2 + x + 2}{x^2 + x - 12} > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 12} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нули числителя: $x^2 - x - 2 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. Нули знаменателя (точки, в которых функция не определена): $x^2 + x - 12 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_3 = 3$, $x_4 = -4$.

Перепишем неравенство в виде:

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 3)(x + 4)} < 0$

Нанесем найденные точки (-4, -1, 2, 3) на числовую ось. Они разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале.

Так как все скобки в первой степени, знаки на интервалах чередуются. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Двигаясь справа налево, знаки будут: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы: $(-4; -1)$ и $(2; 3)$.

Теперь найдем целые значения аргумента $x$, которые попадают в эти интервалы.

Для интервала $(-4; -1)$ целыми значениями являются -3 и -2.

В интервале $(2; 3)$ целых чисел нет.

Следовательно, искомые целые значения аргумента — это -3 и -2.

Найдем их сумму:

$-3 + (-2) = -5$

Ответ: -5