Номер 3, страница 134 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) для сторон треугольника ABC верно $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$;

б) $\sin 120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) около прямоугольника всегда можно описать окружность;

г) длина окружности находится по формуле $C = 2\pi R$?

а) Данное утверждение является прямым следствием теоремы синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длин его сторон к синусам противолежащих углов является величиной постоянной. Для треугольника $ABC$ эта теорема записывается как: $ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $. Из этого следует, что равенство $ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} $ является верным.

Ответ: утверждение верно.

б) Для вычисления значения $\sin 120^\circ$ можно воспользоваться формулой приведения: $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. Применим ее, взяв $\alpha = 60^\circ$: $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ $. Табличное значение синуса $60^\circ$ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Кроме того, угол $120^\circ$ находится во второй координатной четверти, где значения функции синус положительны. Таким образом, правильное значение $ \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. В утверждении же приводится значение $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $, что является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

в) Согласно свойству вписанного четырехугольника, окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Сумма любых двух противолежащих углов прямоугольника равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Так как это условие выполняется для любого прямоугольника, то около него всегда можно описать окружность.

Ответ: утверждение верно.

г) Формула $C = 2\pi R$ является стандартной и общепринятой формулой для вычисления длины окружности ($C$) через ее радиус ($R$). Это одно из фундаментальных соотношений в геометрии. Утверждение является верным (знак вопроса в конце формулы на изображении, по всей видимости, является опечаткой).

Ответ: утверждение верно.