Номер 3, страница 136 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) в ромб всегда можно вписать окружность;

б) для сторон треугольника ABC верно $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$;

в) $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$;

г) площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$?

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них не является верным.

а) в ромб всегда можно вписать окружность;
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть длина стороны ромба равна a. Тогда сумма длин одной пары противолежащих сторон равна $a + a = 2a$, и сумма длин другой пары также равна $a + a = 2a$. Так как $2a = 2a$, условие выполняется для любого ромба. Следовательно, в любой ромб всегда можно вписать окружность.
Ответ: утверждение верное.

б) для сторон треугольника АВС верно $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$;
Это утверждение является следствием теоремы синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Для треугольника ABC принято обозначать углы как A, B, C, а противолежащие им стороны как a (BC), b (AC) и c (AB) соответственно. Теорема синусов записывается так: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Подставив обозначения сторон, получим $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$. Данное равенство верно.
Ответ: утверждение верное.

в) $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$;
Для вычисления значения $\cos 120^\circ$ воспользуемся формулой приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Представим $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$. Получим: $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ$. Известно, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. Утверждение, что $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$, является ложным.
Ответ: утверждение неверное.

г) площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$;
Формула $S = \pi R^2$ является основной и общепринятой формулой для вычисления площади S круга с радиусом R. Эта формула верна.
Ответ: утверждение верное.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенных является утверждение в).