Номер 3, страница 128 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) тупой угол больше 90° и меньше 180°;

б) если $\alpha$ — острый угол, то $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$;

в) радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы;

г) в любом параллелограмме все стороны равны между собой?

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них.

а) Утверждение гласит, что тупой угол больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.
Это утверждение является точным определением тупого угла в евклидовой геометрии. Угол $\alpha$ называется тупым, если выполняется строгое неравенство $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

б) Утверждение гласит, что если $\alpha$ — острый угол, то $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.
Это одно из основных тригонометрических тождеств. По определению, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Для острого угла $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$) значения синуса и косинуса не равны нулю, поэтому тангенс и котангенс определены. Их произведение равно: $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1$.

Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

в) Утверждение гласит, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
Это известная теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Это следует из того, что прямой угол ($90^{\circ}$) является вписанным углом и опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза является диаметром описанной окружности. Радиус ($R$) равен половине диаметра ($d$), а значит, радиус равен половине гипотенузы ($c$): $R = \frac{c}{2}$. Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

г) Утверждение гласит, что в любом параллелограмме все стороны равны между собой.
По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого следует, что противоположные стороны также и равны. Однако, утверждение о равенстве всех сторон не является верным для любого параллелограмма. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является частным случаем — ромбом. Прямоугольник, не являющийся квадратом, — это контрпример: он является параллелограммом, но его смежные стороны не равны. Таким образом, данное утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.