Номер 8, страница 159 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение $\frac{x^2 - 5x}{x - 5} = 2 - x^2$.

Данное уравнение является дробно-рациональным. $$ \frac{x^2 - 5x}{x - 5} = 2 - x^2 $$

Первым шагом найдём область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $$ x - 5 \neq 0 $$ $$ x \neq 5 $$

Теперь преобразуем левую часть уравнения. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ \frac{x(x - 5)}{x - 5} = 2 - x^2 $$

При условии, что $x \neq 5$, мы можем сократить дробь на $(x - 5)$: $$ x = 2 - x^2 $$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесём все его члены в левую часть: $$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. $$ x_1 + x_2 = -1 $$ $$ x_1 \cdot x_2 = -2 $$

Подбором находим корни: $$ x_1 = -2 $$ $$ x_2 = 1 $$

Также можно было найти корни через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

Оба найденных корня ($-2$ и $1$) не равны $5$, следовательно, они удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: $-2; 1$.