Номер 10, страница 159 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В зрительном зале было 320 мест, причем в каждом ряду их было одинаковое количество. Число рядов уменьшили на 2, а в каждый ряд добавили 5 мест. В результате в зале стало 350 мест. Сколько рядов стало в зрительном зале?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r$ — это первоначальное количество рядов в зале, а $s$ — первоначальное количество мест в каждом ряду.

По условию, в зрительном зале было 320 мест, и в каждом ряду было одинаковое количество мест. Это можно записать в виде уравнения:

$r \cdot s = 320$

Затем число рядов уменьшили на 2, а в каждый ряд добавили 5 мест. Новое количество рядов стало $r - 2$, а новое количество мест в ряду — $s + 5$. В результате общее количество мест в зале стало 350. Составим второе уравнение:

$(r - 2) \cdot (s + 5) = 350$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} r \cdot s = 320 \\ (r - 2)(s + 5) = 350 \end{cases}$

Выразим $s$ из первого уравнения: $s = \frac{320}{r}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(r - 2) \cdot (\frac{320}{r} + 5) = 350$

Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$r \cdot \frac{320}{r} + r \cdot 5 - 2 \cdot \frac{320}{r} - 2 \cdot 5 = 350$

$320 + 5r - \frac{640}{r} - 10 = 350$

Упростим левую часть уравнения:

$310 + 5r - \frac{640}{r} = 350$

Перенесем 310 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5r - \frac{640}{r} = 350 - 310$

$5r - \frac{640}{r} = 40$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $r$ (поскольку количество рядов $r$ не может быть равно нулю):

$5r^2 - 640 = 40r$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5r^2 - 40r - 640 = 0$

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

$r^2 - 8r - 128 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576$

Найдем корни уравнения по формуле $r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$r_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 24}{2}$

Получаем два возможных корня:

$r_1 = \frac{8 + 24}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$r_2 = \frac{8 - 24}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как количество рядов не может быть отрицательным числом, единственным подходящим решением является $r = 16$. Это было первоначальное количество рядов.

Вопрос задачи: "Сколько рядов стало в зрительном зале?".

Новое количество рядов равно $r - 2$. Подставляем найденное значение $r$:

$16 - 2 = 14$

Для проверки можно найти все параметры. Изначально было 16 рядов и $s = 320 / 16 = 20$ мест в ряду. После изменений стало $16 - 2 = 14$ рядов, а мест в ряду $20 + 5 = 25$. Общее число мест после изменений: $14 \cdot 25 = 350$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 14.