Номер 9, страница 159 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BK$ и медиана $AM$, которые пересекаются в точке $F$. Площадь треугольника $ABC$ равна 210, $AB : BC = 3 : 4$. Найдите площадь четырехугольника $KFMC$.

Площадь искомого четырехугольника $KFMC$ можно вычислить, если из площади треугольника $BKC$ вычесть площадь треугольника $BFM$. Таким образом, $S_{KFMC} = S_{BKC} - S_{BFM}$. Найдем площади этих двух треугольников.

Сначала найдем площадь треугольника $BKC$.
$BK$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$. Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$
Из условия известно, что $AB : BC = 3 : 4$, значит $\frac{AK}{KC} = \frac{3}{4}$.
Треугольники $ABK$ и $BKC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{ABK}}{S_{BKC}} = \frac{AK}{KC} = \frac{3}{4}$
Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника $ABC$:
$S_{ABK} + S_{BKC} = S_{ABC} = 210$.
Так как $S_{ABK} = \frac{3}{4}S_{BKC}$, мы можем записать:
$\frac{3}{4}S_{BKC} + S_{BKC} = 210$
$\frac{7}{4}S_{BKC} = 210$
$S_{BKC} = \frac{210 \cdot 4}{7} = 30 \cdot 4 = 120$.

Теперь найдем площадь треугольника $BFM$.
$AM$ — медиана в треугольнике $ABC$. Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями:
$S_{ABM} = S_{AMC} = \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 210 = 105$.
Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $BF$ (часть биссектрисы $BK$) является биссектрисой угла $ABM$. По свойству биссектрисы в треугольнике $ABM$ имеем:
$\frac{AF}{FM} = \frac{AB}{BM}$
Поскольку $M$ — середина стороны $BC$, то $BM = \frac{1}{2}BC$. Подставим это в отношение:
$\frac{AF}{FM} = \frac{AB}{\frac{1}{2}BC} = 2 \cdot \frac{AB}{BC}$
Используя данное в условии соотношение $\frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$, получаем:
$\frac{AF}{FM} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.
Треугольники $ABF$ и $BFM$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AM$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{ABF}}{S_{BFM}} = \frac{AF}{FM} = \frac{3}{2}$.
Сумма их площадей равна площади треугольника $ABM$:
$S_{ABF} + S_{BFM} = S_{ABM} = 105$.
Так как $S_{ABF} = \frac{3}{2}S_{BFM}$, мы можем записать:
$\frac{3}{2}S_{BFM} + S_{BFM} = 105$
$\frac{5}{2}S_{BFM} = 105$
$S_{BFM} = \frac{105 \cdot 2}{5} = 21 \cdot 2 = 42$.

Наконец, вычислим площадь четырехугольника $KFMC$. Как было показано, треугольник $BKC$ состоит из треугольников $BFM$, $FMC$ и $KFC$. Таким образом, $S_{BKC} = S_{BFM} + S_{FMC} + S_{KFC}$. Площадь четырехугольника $KFMC$ равна $S_{FMC} + S_{KFC}$. Следовательно:
$S_{KFMC} = S_{BKC} - S_{BFM} = 120 - 42 = 78$.

Ответ: 78