Номер 465, страница 116 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

Массы шариков: $m_1 = m_2 = m_3 = m$
Шарики закреплены на одном стержне, вращающемся с угловой скоростью $\omega$.
Расстояния от оси вращения до шариков: $r_1, r_2, r_3$, причем из рисунка видно, что $r_1 < r_2 < r_3$.

Найти:

Одинаковой ли кинетической энергией обладают шарики? Сравнить $E_{k1}, E_{k2}, E_{k3}$.

Решение:

Кинетическая энергия материальной точки рассчитывается по формуле: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ где $\text{m}$ — масса тела, а $\text{v}$ — его линейная скорость.

Так как все три шарика закреплены на одном жестком стержне, они вращаются как единое целое. Это означает, что у всех шариков одинаковая угловая скорость $\omega$.

Линейная скорость точки при вращательном движении зависит от ее расстояния до оси вращения (радиуса $\text{r}$) и связана с угловой скоростью соотношением: $v = \omega r$

Из рисунка видно, что шарики находятся на разных расстояниях от оси вращения. Обозначим эти расстояния как $r_1$, $r_2$ и $r_3$ для первого (ближайшего к оси), второго и третьего (самого дальнего) шариков соответственно. Очевидно, что $r_1 < r_2 < r_3$.

Следовательно, линейные скорости шариков будут различными:

$v_1 = \omega r_1$
$v_2 = \omega r_2$
$v_3 = \omega r_3$

Поскольку $r_1 < r_2 < r_3$, то и линейные скорости шариков соотносятся как $v_1 < v_2 < v_3$.

Теперь мы можем найти и сравнить кинетические энергии шариков. Массы у них одинаковы ($\text{m}$).

Кинетическая энергия первого шарика: $E_{k1} = \frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m (\omega r_1)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2r_1^2$

Кинетическая энергия второго шарика: $E_{k2} = \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2}m (\omega r_2)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2r_2^2$

Кинетическая энергия третьего шарика: $E_{k3} = \frac{1}{2}m v_3^2 = \frac{1}{2}m (\omega r_3)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2r_3^2$

Так как $\text{m}$ и $\omega$ одинаковы для всех шариков, а $r_1 < r_2 < r_3$, то и их кинетические энергии будут находиться в следующем соотношении: $E_{k1} < E_{k2} < E_{k3}$

Таким образом, кинетические энергии шариков не одинаковы. Наибольшей кинетической энергией обладает шарик, наиболее удаленный от оси вращения.

Ответ: Нет, шарики не обладают одинаковой кинетической энергией. Кинетическая энергия шарика тем больше, чем дальше он находится от оси вращения, так как при одинаковой угловой скорости его линейная скорость выше.