номер 4, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

4.По графикам проекции скорости прямолинейно движущихся мотоциклистов (рис. 85) постройте графики проекций их ускорения и перемещения. Охарактеризуйте эти движения. Чему равно отношение путей, пройденных каждым мотоциклистом за время $t_1 = 4,0 \, \text{с}$ и $t_2 = 8,0 \, \text{с}$ от начала движения? Запишите кинематический закон движения каждого из мотоциклистов, считая их начальные координаты $x_0 = 0$.

По графикам проекции скорости прямолинейно движущихся мотоциклистов (рис. 85) постройте графики проекций их ускорения и перемещения. Охарактеризуйте эти движения. Чему равно отношение путей, пройденных каждым мотоциклистом за время $t_1 = 4{,}0\text{ с}$ и $t_2 = 8{,}0\text{ с}$ от начала движения? Запишите кинематический закон движения каждого из мотоциклистов, считая их начальные координаты $x_0 = 0$.

Дано:
$x_{0A} = 0\text{ м}$, $x_{0B} = 0\text{ м}$
$v_{0Ax} = 15\text{ м/с}$ (начальная скорость мотоциклиста A при $t = 0\text{ с}$)
$v_{0Bx} = 5\text{ м/с}$ (начальная скорость мотоциклиста B при $t = 0\text{ с}$)
$t_1 = 4{,}0\text{ с}$, $v_{1Ax} = v_{1Bx} = 10\text{ м/с}$ (точка пересечения графиков скоростей)
$t_2 = 8{,}0\text{ с}$, $v_{2Ax} = 5\text{ м/с}$, $v_{2Bx} = 15\text{ м/с}$

Найти:
Характер движений; $a_{Ax}$, $a_{Bx}$; графики $a_x(t)$ и $s_x(t)$; законы движения $x_A(t)$, $x_B(t)$; отношения путей при $t_1$ и $t_2$.

Решение:

1.Характеристика движений и расчет ускорений:

Графики зависимости проекции скорости от времени представляют собой прямые линии, следовательно, оба движения являются равнопеременными с постоянным ускорением $a_x = \text{const}$.

• Мотоциклист A: модуль скорости со временем уменьшается ($v_{0Ax} = 15\text{ м/с}$, а при $t_1 = 4{,}0\text{ с}$ скорость равна $10\text{ м/с}$). Движение прямолинейное равнозамедленное вдоль оси $Ox$.
  Проекция ускорения: $$a_{Ax} = \frac{v_{1Ax} - v_{0Ax}}{t_1} = \frac{10\text{ м/с} - 15\text{ м/с}}{4{,}0\text{ с}} = -1{,}25\text{ м/с}^2$$
• Мотоциклист B: модуль скорости со временем увеличивается ($v_{0Bx} = 5\text{ м/с}$, а при $t_1 = 4{,}0\text{ с}$ скорость равна $10\text{ м/с}$). Движение прямолинейное равноускоренное в направлении оси $Ox$.
  Проекция ускорения: $$a_{Bx} = \frac{v_{1Bx} - v_{0Bx}}{t_1} = \frac{10\text{ м/с} - 5\text{ м/с}}{4{,}0\text{ с}} = 1{,}25\text{ м/с}^2$$

2.Кинематические законы движения:

Уравнение координаты при прямолинейном равнопеременном движении имеет вид: $$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$$

Так как начальные координаты $x_0 = 0$, получаем:

• Для мотоциклиста A: $$x_A(t) = 15t - \frac{1{,}25t^2}{2} = 15t - 0{,}625t^2$$
• Для мотоциклиста B: $$x_B(t) = 5t + \frac{1{,}25t^2}{2} = 5t + 0{,}625t^2$$

3.Расчет пройденных путей и их отношений:

Поскольку мотоциклисты не меняли направление движения, пройденный путь численно равен модулю перемещения или площади под графиком проекции скорости (площадь трапеции):

За время $t_1 = 4{,}0\text{ с}$:$$s_A(t_1) = \frac{v_{0Ax} + v_{1Ax}}{2} \cdot t_1 = \frac{15 + 10}{2} \cdot 4{,}0 = 50\text{ м}$$ $$s_B(t_1) = \frac{v_{0Bx} + v_{1Bx}}{2} \cdot t_1 = \frac{5 + 10}{2} \cdot 4{,}0 = 30\text{ м}$$

За время $t_2 = 8{,}0\text{ с}$:$$s_A(t_2) = \frac{v_{0Ax} + v_{2Ax}}{2} \cdot t_2 = \frac{15 + 5}{2} \cdot 8{,}0 = 80\text{ м}$$ $$s_B(t_2) = \frac{v_{0Bx} + v_{2Bx}}{2} \cdot t_2 = \frac{5 + 15}{2} \cdot 8{,}0 = 80\text{ м}$$

Отношение путей между мотоциклистами:

• В момент времени $t_1 = 4{,}0\text{ с}$: $$\frac{s_A(t_1)}{s_B(t_1)} = \frac{50\text{ м}}{30\text{ м}} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \quad \left(\text{или } \frac{s_B(t_1)}{s_A(t_1)} = \frac{3}{5} = 0{,}6\right)$$
• В момент времени $t_2 = 8{,}0\text{ с}$: $$\frac{s_A(t_2)}{s_B(t_2)} = \frac{80\text{ м}}{80\text{ м}} = 1$$

Примечание: если требуется найти отношение путей, пройденных каждым отдельным мотоциклистом за время $t_2$ по сравнению с $t_1$:

• Для мотоциклиста A: $\frac{s_A(t_2)}{s_A(t_1)} = \frac{80\text{ м}}{50\text{ м}} = 1{,}6$
• Для мотоциклиста B: $\frac{s_B(t_2)}{s_B(t_1)} = \frac{80\text{ м}}{30\text{ м}} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$

4.Описание построения графиков проекций ускорения и перемещения:

• График проекции ускорения $a_x(t)$:
  Строится в координатных осях $(t, a_x)$:
  • Для мотоциклиста A — горизонтальный отрезок прямой линии $a_{Ax} = -1{,}25\text{ м/с}^2$, параллельный оси времени $t$, от $t = 0$ до $t = 8\text{ с}$.
  • Для мотоциклиста B — горизонтальный отрезок прямой линии $a_{Bx} = 1{,}25\text{ м/с}^2$, параллельный оси времени $t$, от $t = 0$ до $t = 8\text{ с}$.
• График проекции перемещения $s_x(t)$:
  Представляет собой параболы, начинающиеся из точки $(0; 0)$:
  • Для мотоциклиста A — дуга параболы, направленная ветвями вниз, проходящая через опорные точки: $(0\text{ с}; 0\text{ м})$, $(4\text{ с}; 50\text{ м})$, $(8\text{ с}; 80\text{ м})$.
  • Для мотоциклиста B — дуга параболы, направленная ветвями вверх, проходящая через опорные точки: $(0\text{ с}; 0\text{ м})$, $(4\text{ с}; 30\text{ м})$, $(8\text{ с}; 80\text{ м})$.
  В момент времени $t = 8{,}0\text{ с}$ оба графика перемещения пересекаются в точке $(8\text{ с}; 80\text{ м})$.

Ответ:
Мотоциклист A движется прямолинейно равнозамедленно с $a_{Ax} = -1{,}25\text{ м/с}^2$; мотоциклист B — прямолинейно равноускоренно с $a_{Bx} = 1{,}25\text{ м/с}^2$.
Законы движения: $x_A(t) = 15t - 0{,}625t^2$, $x_B(t) = 5t + 0{,}625t^2$.
Отношение путей $\frac{s_A}{s_B}$: при $t_1 = 4{,}0\text{ с}$ равно $\frac{5}{3} \approx 1{,}67$; при $t_2 = 8{,}0\text{ с}$ равно $1$.