номер 7, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

7.Автомобиль первую половину пути двигался равномерно со скоростью $v_1 = 36 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$, а вторую — равноускоренно. Определите среднюю скорость движения автомобиля на всём маршруте, если в конце движения скорость $v_2 = 20 \frac{\text{М}}{\text{с}}$.

Дано:
$s_1 = s_2 = \frac{s}{2}$
$v_1 = 36\text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000\text{ м}}{3600\text{ с}} = 10\text{ м/с}$
$v_2 = 20\text{ м/с}$
Найти: $v_{\text{ср}}$

Решение:
По определению, средняя скорость движения равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:
$$v_{\text{ср}} = \frac{s}{t_{\text{общ}}}$$ где $s$ — весь путь, а $t_{\text{общ}} = t_1 + t_2$ — общее время движения.

1. На первой половине пути автомобиль двигался равномерно. Время движения на этом участке равно:
$$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{s}{2v_1}$$

2. На второй половине пути автомобиль двигался равноускоренно. Начальная скорость на этом отрезке равна скорости в конце первого участка: $v_{02} = v_1 = 10\text{ м/с}$, а конечная скорость составляет $v_2 = 20\text{ м/с}$.
При равноускоренном прямолинейном движении средняя скорость на участке находится как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (формула для равноускоренного движения):
$$v_{\text{ср2}} = \frac{v_1 + v_2}{2}$$ Тогда время движения на второй половине пути равно:
$$t_2 = \frac{s_2}{v_{\text{ср2}}} = \frac{\frac{s}{2}}{\frac{v_1 + v_2}{2}} = \frac{s}{v_1 + v_2}$$

3. Найдём общее время движения автомобиля:
$$t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = \frac{s}{2v_1} + \frac{s}{v_1 + v_2} = s \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2} \right) = s \cdot \frac{(v_1 + v_2) + 2v_1}{2v_1 (v_1 + v_2)} = s \cdot \frac{3v_1 + v_2}{2v_1 (v_1 + v_2)}$$

4. Выразим среднюю скорость на всём пути:
$$v_{\text{ср}} = \frac{s}{t_{\text{общ}}} = \frac{s}{s \cdot \frac{3v_1 + v_2}{2v_1 (v_1 + v_2)}} = \frac{2v_1 (v_1 + v_2)}{3v_1 + v_2}$$

Подставим числовые значения:
$$v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot 10 \cdot (10 + 20)}{3 \cdot 10 + 20} = \frac{20 \cdot 30}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12\text{ м/с}$$ Переведём полученную скорость в $\text{км/ч}$:
$$v_{\text{ср}} = 12 \cdot 3{,}6 = 43{,}2\text{ км/ч}$$

Ответ: $v_{\text{ср}} = 12\text{ м/с}$ (или $43{,}2\text{ км/ч}$)