номер 8, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.Пассажир, стоявший на платформе у начала отправляющегося поезда, определил, что первый вагон прошёл мимо него за время $t_1 = 4 \text{ с}$, а весь поезд — за $t_2 = 16 \text{ с}$. Сколько вагонов было у поезда? За какое время прошёл мимо пассажира последний вагон? Движение поезда считать равноускоренным, а вагоны одинаковыми.

8.Пассажир, стоявший на платформе у начала отправляющегося поезда, определил, что первый вагон прошёл мимо него за время $t_1 = 4\text{ с}$, а весь поезд — за $t_2 = 16\text{ с}$. Сколько вагонов было у поезда? За какое время прошёл мимо пассажира последний вагон? Движение поезда считать равноускоренным, а вагоны одинаковыми.

Дано:
$t_1 = 4\text{ с}$
$t_2 = 16\text{ с}$
$v_0 = 0\text{ м/с}$ (поезд отправляется из состояния покоя)
Найти:
$N$ — количество вагонов,
$\Delta t$ — время прохождения последнего вагона.

Решение:

При равноускоренном движении из состояния покоя пройденное расстояние определяется формулой пути без начальной скорости: $$S = \frac{a t^2}{2}$$ где $a$ — ускорение поезда.

Пусть длина одного вагона равна $l$. Первый вагон проезжает мимо наблюдателя за время $t_1$: $$l = \frac{a t_1^2}{2}$$

Если поезд состоит из $N$ одинаковых вагонов, то его общая длина составляет $L = N \cdot l$. За время $t_2$ мимо пассажира проходит весь поезд: $$N \cdot l = \frac{a t_2^2}{2}$$

Разделим уравнение для длины всего поезда на уравнение для длины первого вагона: $$\frac{N \cdot l}{l} = \frac{\frac{a t_2^2}{2}}{\frac{a t_1^2}{2}}$$ $$N = \left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2$$

Подставим числовые данные: $$N = \left(\frac{16\text{ с}}{4\text{ с}}\right)^2 = 4^2 = 16$$ Таким образом, в поезде было $16$ вагонов.

Время прохождения последнего (16-го) вагона равно разности времени движения всего поезда $t_2$ и времени прохождения первых $N - 1 = 15$ вагонов $t_{15}$:
$$\Delta t = t_2 - t_{15}$$

Путь, равный длине первых $(N - 1)$ вагонов, поезд проходит за время $t_{N-1}$: $$(N - 1) \cdot l = \frac{a t_{N-1}^2}{2}$$

Подставим выражение для длины одного вагона $l = \frac{a t_1^2}{2}$: $$(N - 1) \cdot \frac{a t_1^2}{2} = \frac{a t_{N-1}^2}{2} \implies t_{N-1}^2 = (N - 1) t_1^2$$ $$t_{N-1} = t_1 \sqrt{N - 1}$$

Вычислим время $t_{15}$: $$t_{15} = 4 \cdot \sqrt{16 - 1} = 4 \sqrt{15}\text{ с} \approx 4 \cdot 3{,}873\text{ с} \approx 15{,}49\text{ с}$$

Теперь найдём время прохождения последнего вагона: $$\Delta t = t_2 - t_{15} = 16 - 4\sqrt{15} = 4(4 - \sqrt{15})\text{ с}$$ $$\Delta t \approx 16 - 15{,}49 \approx 0{,}51\text{ с}$$

Ответ: $16$ вагонов; $\approx 0{,}51\text{ с}$ (или точно $4(4 - \sqrt{15})\text{ с}$).