номер 5, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

5.Подъёмный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением $a = 0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения груза от времени.

5.Подъёмный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением $a = 0{,}1\text{ м/с}^2$. Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения груза от времени.

Дано:
$v_0 = 0\text{ м/с}$ (движение из состояния покоя)
$a = 0{,}1\text{ м/с}^2$
$t_1 = 1\text{ с}$, $t_2 = 2\text{ с}$, $t_3 = 3\text{ с}$, $t_4 = 4\text{ с}$

Найти:
$s_{\text{I}} : s_{\text{II}} : s_{\text{III}} : s_{\text{IV}}$

Решение:

При равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости путь, пройденный телом от начала движения за промежуток времени $t$, определяется формулой: $$s(t) = \frac{a t^2}{2}$$

Путь, пройденный телом за $n$-ю секунду, равен разности перемещений за $n$ секунд и за $(n - 1)$ секунд: $$s_n = s(n) - s(n - 1) = \frac{a \cdot n^2}{2} - \frac{a \cdot (n - 1)^2}{2} = \frac{a}{2} \left(n^2 - (n^2 - 2n + 1)\right) = \frac{a}{2} (2n - 1)$$

Рассчитаем пути для каждой из четырёх секунд:

• За 1-ю секунду ($n = 1$): $s_{\text{I}} = \frac{0{,}1}{2} \cdot (2 \cdot 1 - 1) = 0{,}05 \cdot 1 = 0{,}05\text{ м}$;
• За 2-ю секунду ($n = 2$): $s_{\text{II}} = \frac{0{,}1}{2} \cdot (2 \cdot 2 - 1) = 0{,}05 \cdot 3 = 0{,}15\text{ м}$;
• За 3-ю секунду ($n = 3$): $s_{\text{III}} = \frac{0{,}1}{2} \cdot (2 \cdot 3 - 1) = 0{,}05 \cdot 5 = 0{,}25\text{ м}$;
• За 4-ю секунду ($n = 4$): $s_{\text{IV}} = \frac{0{,}1}{2} \cdot (2 \cdot 4 - 1) = 0{,}05 \cdot 7 = 0{,}35\text{ м}$.

Составим отношение этих величин: $$s_{\text{I}} : s_{\text{II}} : s_{\text{III}} : s_{\text{IV}} = 0{,}05 : 0{,}15 : 0{,}25 : 0{,}35 = 1 : 3 : 5 : 7$$

Графическое подтверждение:

Зависимость модуля скорости от времени имеет вид $v(t) = at = 0{,}1 t$. График представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и проходящую через точки:

• при $t = 1\text{ с} \implies v_1 = 0{,}1\text{ м/с}$;
• при $t = 2\text{ с} \implies v_2 = 0{,}2\text{ м/с}$;
• при $t = 3\text{ с} \implies v_3 = 0{,}3\text{ м/с}$;
• при $t = 4\text{ с} \implies v_4 = 0{,}4\text{ м/с}$.

Геометрический смысл перемещения: путь численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$ на соответствующем интервале времени:

• За 1-ю секунду путь равен площади прямоугольного треугольника с основанием $1\text{ с}$ и высотой $0{,}1\text{ м/с}$: $$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}05\text{ (примем эту площадь за 1 условную единицу $S_0$)};$$
• За 2-ю секунду фигура представляет собой трапецию с основаниями $0{,}1$ и $0{,}2$ и высотой $1$. Её площадь: $$S_2 = \frac{0{,}1 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}15 = 3S_0;$$
• За 3-ю секунду — трапеция с основаниями $0{,}2$ и $0{,}3$: $$S_3 = \frac{0{,}2 + 0{,}3}{2} \cdot 1 = 0{,}25 = 5S_0;$$
• За 4-ю секунду — трапеция с основаниями $0{,}3$ и $0{,}4$: $$S_4 = \frac{0{,}3 + 0{,}4}{2} \cdot 1 = 0{,}35 = 7S_0.$$

Таким образом, геометрически площади фигур под графиком скорости относятся как $1 : 3 : 5 : 7$, что полностью подтверждает закон нечётных чисел Галилея для последовательных равных промежутков времени.

Ответ: пути относятся как $1 : 3 : 5 : 7$.