номер 6, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

6.Дети играли на спортивной площадке. Один из мальчиков подбросил мяч вертикально вверх. Кинематический закон движения мяча имеет вид $y = At - Bt^2$, где $A = 15,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$, $B = 5,0 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$. Определите путь, модуль перемещения и координату мяча к моментам времени $t_1 = 1,0 \text{ с}$, $t_2 = 2,0 \text{ с}$ и $t_3 = 3,0 \text{ с}$ от начала движения. Постройте графики зависимости от времени проекций ускорения и скорости, координаты мяча, модуля перемещения и пути.

6.Дети играли на спортивной площадке. Один из мальчиков подбросил мяч вертикально вверх. Кинематический закон движения мяча имеет вид $y = At - Bt^2$, где $A = 15,0\text{ м/с}$, $B = 5,0\text{ м/с}^2$. Определите путь, модуль перемещения и координату мяча к моментам времени $t_1 = 1,0\text{ с}$, $t_2 = 2,0\text{ с}$ и $t_3 = 3,0\text{ с}$ от начала движения. Постройте графики зависимости от времени проекций ускорения и скорости, координаты мяча, модуля перемещения и пути.

Дано:
$y(t) = At - Bt^2$
$A = 15,0\text{ м/с}$
$B = 5,0\text{ м/с}^2$
$t_1 = 1,0\text{ с}$
$t_2 = 2,0\text{ с}$
$t_3 = 3,0\text{ с}$

Найти:
$y_1, |\Delta r_1|, s_1$; $y_2, |\Delta r_2|, s_2$; $y_3, |\Delta r_3|, s_3$; графики зависимостей $a_y(t)$, $v_y(t)$, $y(t)$, $|\Delta r(t)|$, $s(t)$.

Решение:

Запишем уравнение равноускоренного движения в общем виде: $$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$$ Сопоставляя его с заданным законом движения $y(t) = 15,0t - 5,0t^2$, определим начальные параметры движения мяча:
• начальная координата: $y_0 = 0\text{ м}$;
• проекция начальной скорости: $v_{0y} = A = 15,0\text{ м/с}$;
• проекция ускорения: $\frac{a_y}{2} = -B = -5,0\text{ м/с}^2 \implies a_y = -10,0\text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения направлено вниз).

Зависимость проекции скорости от времени выражается формулой: $$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = 15,0 - 10,0t$$

В наивысшей точке подъёма скорость мяча равна нулю ($v_y = 0$): $$15,0 - 10,0t_{\text{в}} = 0 \implies t_{\text{в}} = 1,5\text{ с}$$ Максимальная высота подъема мяча: $$y_{\max} = y(1,5) = 15,0 \cdot 1,5 - 5,0 \cdot (1,5)^2 = 22,5 - 11,25 = 11,25\text{ м}$$

Модуль перемещения тела от начала движения определяется как: $$|\Delta r| = |y(t) - y_0| = |y(t)|$$ Путь $s$ равен сумме длин пройденных участков траектории (до верхней точки мяч движется только вверх, после — вниз):

1) В момент времени $t_1 = 1,0\text{ с}$:
Так как $t_1 < 1,5\text{ с}$, мяч движется вверх без изменения направления движения.
Координата: $y_1 = 15,0 \cdot 1,0 - 5,0 \cdot (1,0)^2 = 10,0\text{ м}$.
Модуль перемещения: $|\Delta r_1| = |y_1| = 10,0\text{ м}$.
Пройденный путь: $s_1 = y_1 = 10,0\text{ м}$.

2) В момент времени $t_2 = 2,0\text{ с}$:
Так как $t_2 > 1,5\text{ с}$, мяч достиг высшей точки и начал опускаться.
Координата: $y_2 = 15,0 \cdot 2,0 - 5,0 \cdot (2,0)^2 = 30,0 - 20,0 = 10,0\text{ м}$.
Модуль перемещения: $|\Delta r_2| = |y_2| = 10,0\text{ м}$.
Пройденный путь: мяч пролетел вверх до $y_{\max}$ и опустился на расстояние $(y_{\max} - y_2)$: $$s_2 = y_{\max} + (y_{\max} - y_2) = 11,25 + (11,25 - 10,0) = 12,5\text{ м}$$

3) В момент времени $t_3 = 3,0\text{ с}$:
Координата: $y_3 = 15,0 \cdot 3,0 - 5,0 \cdot (3,0)^2 = 45,0 - 45,0 = 0\text{ м}$ (мяч упал на землю в начальную точку).
Модуль перемещения: $|\Delta r_3| = |y_3| = 0\text{ м}$.
Пройденный путь: $s_3 = 2 \cdot y_{\max} = 2 \cdot 11,25 = 22,5\text{ м}$.

Характеристики графиков зависимостей от времени для интервала $t \in [0; 3,0\text{ с}]$:

• График $a_y(t)$: горизонтальная прямая $a_y = -10,0\text{ м/с}^2$, параллельная оси времени и расположенная ниже оси $Ot$.
• График $v_y(t)$: наклонная прямая, выходящая из точки $(0\text{ с}; 15\text{ м/с})$, пересекающая ось времени в точке $(1,5\text{ с}; 0\text{ м/с})$ и оканчивающаяся в точке $(3,0\text{ с}; -15\text{ м/с})$.
• График $y(t)$: парабола с вершиной в точке $(1,5\text{ с}; 11,25\text{ м})$, ветви направлены вниз. Проходит через нули $(0\text{ с}; 0\text{ м})$ и $(3,0\text{ с}; 0\text{ м})$.
• График $|\Delta r(t)|$: так как координата $y(t) \ge 0$ на всем промежутке времени полета, график модуля перемещения совпадает с графиком координаты $y(t)$ (та же парабола от $0$ до $11,25\text{ м}$ и обратно до $0$).
• График $s(t)$: непрерывная возрастающая кривая, состоящая из двух участков парабол:
  — при $t \in [0; 1,5\text{ с}]$: $s(t) = 15t - 5t^2$ (совпадает с подъемом);
  — при $t \in [1,5\text{ с}; 3,0\text{ с}]$: $s(t) = 22,5 - 15t + 5t^2$ (ветвь направлена вверх, монотонно растет до значения $22,5\text{ м}$).

Ответ:
при $t_1 = 1,0\text{ с}$: $y_1 = 10,0\text{ м}$, $|\Delta r_1| = 10,0\text{ м}$, $s_1 = 10,0\text{ м}$;
при $t_2 = 2,0\text{ с}$: $y_2 = 10,0\text{ м}$, $|\Delta r_2| = 10,0\text{ м}$, $s_2 = 12,5\text{ м}$;
при $t_3 = 3,0\text{ с}$: $y_3 = 0\text{ м}$, $|\Delta r_3| = 0\text{ м}$, $s_3 = 22,5\text{ м}$.