номер 11, страница 59 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

11. Полотно тонкой рулонной шторы, намотанной на вал, стали раскручивать. При равномерном вращении вала за время $t = 9,0$ с отмоталась штора длиной $l = 1,2$ м. Определите диаметр вала, если его частота вращения $v = 75 \frac{1}{\text{мин}}$.

Дано:
$t = 9{,}0\text{ с}$
$l = 1{,}2\text{ м}$
$\nu = 75\text{ мин}^{-1} = \frac{75}{60}\text{ с}^{-1} = 1{,}25\text{ с}^{-1}$

Найти: $d$

Решение:

Так как полотно шторы тонкое, изменением толщины намотки можно пренебречь и считать диаметр вала постоянным.

За время $t$ вал совершает число оборотов $N$, которое определяется через частоту вращения $\nu$ (по определению частоты вращения): $$N = \nu \cdot t$$

За один полный оборот вала сматывается отрезок шторы, равный длине окружности вала: $$C = \pi d$$

Тогда общая длина раскрученной шторы $l$ равна произведению числа оборотов на длину одного витка: $$l = N \cdot C = \nu \cdot t \cdot \pi d$$

Из полученной формулы выразим искомый диаметр вала $d$: $$d = \frac{l}{\pi \nu t}$$

Подставим числовые значения физических величин в единицах СИ: $$d = \frac{1{,}2}{3{,}14 \cdot 1{,}25 \cdot 9{,}0} = \frac{1{,}2}{35{,}325} \approx 0{,}034\text{ м} = 3{,}4\text{ см}$$

Также задачу можно решить через линейную скорость точек поверхности вала: $$v = \frac{l}{t}$$ С другой стороны, линейная скорость связана с частотой вращения формулой $v = 2\pi R \nu = \pi d \nu$, откуда получаем то же выражение для диаметра: $$d = \frac{v}{\pi \nu} = \frac{l}{\pi \nu t}$$

Ответ: $d \approx 3{,}4\text{ см}$ (или $0{,}034\text{ м}$, $34\text{ мм}$).